Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）當(dāng)PA=AB=AD時(shí)，求二面角F-AB-C的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）取PO中點(diǎn)H，連FH，AH，由三角形中位線(xiàn)定理，及E為AB中點(diǎn)，可得AEFH為平行四邊形，從而EF∥AH，再由線(xiàn)面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；
（2）由已知中矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，我們可得PA⊥CD，CD⊥AD，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AH，結(jié)合AH∥EF得到EF⊥CD；
（3）結(jié)合（2）中CD⊥平面PAD，我們由線(xiàn)面垂直的第二判定定理可得BA⊥平面PAD，則∠HAD即為二面角F-AB-C的平面角，解三角形HAD即可得到二面角F-AB-C的度數(shù)．

解答：解：（1）證明：取PD中點(diǎn)H，連FH，AH
則FH平行且等于

1

2

CD，
又CD平行且等于AB，E為AB中點(diǎn)，
∴FH平行且等于AE
∴AEFH為平行四邊形，
從而EF∥AH，
又EF?平面PAD，AH?平面PAD，
所以EF∥平面PAD
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD，
又AH?平面PAD，
∴CD⊥AH，
而AH∥EF，
∴CD⊥EF．
（3）由CD⊥平面PAD，CD∥AB，
∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AH，BA⊥DA，
∴∠HAD即為二面角F-AB-C的平面角，
由PA=AB=AD，易知∠HAD=45°，
即為二面角F-AB-C的度數(shù)是45°

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線(xiàn)與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，其中（1），（2）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線(xiàn)與平面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理，（3）的關(guān)鍵是證得∠HAD即為二面角F-AB-C的平面角．