Question

已知函數函數f（x）=x+

1

x

（1）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（2）證明函數f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數．
（3）若f（a）＞2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義即可證明函數f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數．
（3）若f（a）＞2，解不等式即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}，
f（-x）=-x+x-1=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數  （ （4分） ）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），不妨設x₁＜x₂，則有
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂
+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在（1，+∞）上是增函數．（10分）
（3）若f（a）＞2即a+

1

a

＞2，顯然a＞0，
原式可化為：a²-2a+1=（a-1）2＞0解得a＞0且a≠1，

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用定義法是解決本題的關鍵．