已知橢圓兩焦點坐標分別為,，一個頂點為.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為的直線，使直線與橢圓交于不同的兩點，滿足. 若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，

解析試題分析：（Ⅰ）由題意可得b和c，再根據(jù)，可求得。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點斜式設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立，消掉y（或x）得到關(guān)于x的一元二次方程。因為有兩個交點所以判別式大于0，再根據(jù)韋達定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。已知，如用兩點間距離公式，計算量非常大，故可多分析問題得到設(shè)線段中點為P，則有，可用直線位置關(guān)系列式計算，也可轉(zhuǎn)化為向量用數(shù)量積計算，后邊的方法計算較為簡單。
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為.則依題意
，，所以
于是橢圓的方程為                   4分
（Ⅱ）存在這樣的直線. 依題意，直線的斜率存在
設(shè)直線的方程為，則
由得
因為得      ①
設(shè)，線段中點為，則
于是
因為，所以.
若，則直線過原點，，不合題意.
若，由得，，整理得     ②
由①②知，， 所以
又，所以.               14分
考點：（1）橢圓的定義及簡單幾何性質(zhì)（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，求之間滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求之間滿足的關(guān)系式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知點，點在直線：上運動，過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點．試探究：當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，直線交橢圓于兩點.
（Ⅰ）求橢圓的焦點坐標及長軸長；
（Ⅱ）求以線段為直徑的圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩個焦點是(0，-)和(0，)，并且經(jīng)過點，拋物線E的頂點在坐標原點，焦點F恰好是橢圓C的右頂點．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知橢圓的兩個焦點分別為、,且到直線的距離等于橢圓的短軸長.

(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若圓的圓心為(),且經(jīng)過、,是橢圓上的動點且在圓外,過作圓的切線,切點為,當的最大值為時,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，曲線、相交于、兩點.（）
（Ⅰ）求、兩點的極坐標；
（Ⅱ）曲線與直線（為參數(shù)）分別相交于兩點，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，且，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點M、N，又點，當時，求實數(shù)m的取值范圍，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形

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