Question

設(shè)函數(shù)表示f(x)導(dǎo)函數(shù)。

    (I)求函數(shù)一份（x）)的單調(diào)遞增區(qū)間；

    (Ⅱ)當(dāng)k為偶數(shù)時，數(shù)列{}滿足．證明：數(shù)列{}中

不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)；

(Ⅲ)當(dāng)后為奇數(shù)時，證明：對任意正整數(shù)，n都有成立．

Answer 1

（1）當(dāng)k為奇數(shù)時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)k為偶數(shù)時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）見解析（3）見解析

解析:

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）

     又                  

當(dāng)k為奇數(shù)時，

即的單調(diào)遞增區(qū)間為                    

當(dāng)k為偶函數(shù)時，

由>0，得x-1>0,∴x>1,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

綜上所述：當(dāng)k為奇數(shù)時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)k為偶數(shù)時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為                                        

（Ⅱ）當(dāng)k為偶數(shù)時，由（Ⅰ）知

     所以

根據(jù)題設(shè)條件有

∴{ }是以2為公式的比例數(shù)列                

假設(shè)數(shù)列{}中存在三項(xiàng)，，，成等差數(shù)列

不妨設(shè)r<s<t，則2=+

即

又 

（Ⅲ）當(dāng)k為奇數(shù)時       

方法二：（數(shù)學(xué)歸納發(fā)）

當(dāng)n=1是，左邊=0，右邊=0，顯然不等式成立

設(shè)n=k+1時：

又

n=k+1時結(jié)論成立。

綜上，對一切正整數(shù)n結(jié)論成立。