Question

函數(shù)f（x）=（mx+1）（lnx-1）．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設點P（m，0），A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足lnx₁•lnx₂=ln（x₁•x₂）（x₁≠x₂），
判斷是否存在實數(shù)m，使得∠APB為直角？說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：轉化思想,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過m=1，求出取得坐標，切線的斜率，然后求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）求出函數(shù)的對數(shù)，通過函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，導數(shù)大于等于0．構造新函數(shù)，通過新函數(shù)的值域，求解實數(shù)m的取值范圍；
（3）設點P（m，0），A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足lnx₁•lnx₂=ln（x₁•x₂）（x₁≠x₂），化簡向量數(shù)量積的表達式，推出數(shù)量積是否為0，即可判斷是否存在實數(shù)m，使得∠APB為直角．

解答： （本題滿分16分）
解：（1）m=1，函數(shù)f（x）=（x+1）（lnx-1）．切點坐標（1，-2），
f′（x）=（lnx-1）+（x+1）

1

x

．f′（1）=1，
∴切線方程為：y+2=x-1．
即：x-y-3=0．  …（3分）
（2）f′(x)=

mxlnx+1

x

≥0在（0，+∞）恒成立，…（5分）
設h（x）=xlnx，h（x）值域[-e^-1，+∞），
即mt+1≥0在t∈[-e^-1，+∞）恒成立，

m≥0 -e-1m+1≥0

，0≤m≤e．…（10分）
（3）

PA

=(x1-m，f(x1))，

PB

=(x2-m，f(x2))，

PA

•

PB

=(x1-m)(x2-m)+f(x1)f(x2)=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（mx₂+1）（lnx₁-1）（lnx₂-1）=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（mx₂+1）=（m²+1）（x₁x₂+1）＞0，
∴不存在實數(shù)m，使得∠APB為直角．…（16分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，函數(shù)恒成立，考查轉化思想的應用．