Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a=-1時，關于x的方程2m[f（x）-a]=x²（m＞0）有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）研究函數(shù)是單調(diào)性得到函數(shù)的極值點，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢，判斷何時方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，得到m所滿足的方程，解方程求解m．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0時，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
a≤0時，f′（x）＞0恒成立，
綜上，a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，
a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）因為方程2m[f（x）-a]=x²有唯一實數(shù)解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，
則g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2mx-2m}{x}$，令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
因為m＞0，x＞0，所以x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$＜0（舍去），x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$，
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增，
當x=x₂時，g（x）取最小值g（x₂）．                
則 $\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2ml{nx}_{2}-2{mx}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-{mx}^{2}-m=0}\end{array}\right.$，
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因為m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*），
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因為當x＞0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即 $\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$=1，
解得：m=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是一道綜合題，有一定的難度，屬于中檔題．