Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，試估算的近似值，（結(jié)果精確到0.001）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的近似值約為1.609

【解析】

（1）由題,先求導(dǎo)可得,由在內(nèi)為增函數(shù)可得在上恒成立,即,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性,即可求得,進(jìn)而得解；

（2）由題求導(dǎo)可得,分別討論與情況下的單調(diào)性,進(jìn)而由在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),結(jié)合的單調(diào)性,求解的范圍；

（3）由（1）可知當(dāng)時(shí),在內(nèi)為增函數(shù),則,即在內(nèi)恒成立,再由（2）可知當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù),則,即在內(nèi)恒成立,進(jìn)而可得在內(nèi)恒成立,在內(nèi)找到關(guān)于與的數(shù),即可令,則,進(jìn)而代入中求解即可.

解:（1）由題,,

,

在內(nèi)為增函數(shù),

在上恒成立,即,

令,則,所以在內(nèi)為增函數(shù),

所以.

（2）由題,,

,

①當(dāng)時(shí),,則,在內(nèi)為增函數(shù),

,則當(dāng)時(shí),,

在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；

②當(dāng)時(shí),設(shè),則,在內(nèi)為減函數(shù),

且,,

（i）當(dāng),時(shí),,在內(nèi)為增函數(shù),

,則當(dāng)時(shí),,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；

（ii）當(dāng)時(shí),,,

,使得,則在內(nèi)為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù),

則,則在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng),

解得；

（iii）當(dāng),時(shí),,在內(nèi)為減函數(shù),

,則當(dāng)時(shí),,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,

綜上所述,.

（3）由（1）可知,當(dāng)時(shí),在內(nèi)為增函數(shù),

所以,即在內(nèi)恒成立,

由（2）可知,當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù),

所以,即在內(nèi)恒成立,

綜上,有,即在內(nèi)恒成立,

令,則有,

可得,即,

則,

解得,

所以的近似值約為1.609.