Question

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長都為是的中點(diǎn)，在邊上，.

（1）證明:平面平面；

（2）若是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面.

①在答題卡中作出點(diǎn)的軌跡，并說明軌跡的形狀(不需要說明理由)；

②求二面角的余弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)的軌跡就是線段；②.

【解析】

（1）證出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出面面垂直.

（2）①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)的軌跡；②以、所在的直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（1）在正三棱柱中，因?yàn)?/span>平面，平面，

所以.

在等邊中，是的中點(diǎn)，所以.

又,所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)的軌跡就是線段.

②由圖可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值取到最大值.

以、所在的直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

由得

令，解得.

所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由得令，解得.

所以.

因此.

故二面角的余弦值得最大值為.