Question

一工廠有50名工人，要完成150套產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每套產(chǎn)品由3個(gè)A型零件和1個(gè)B型零件配套組成，每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A型零件或者3個(gè)B型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作，一組加工A型零件，另一組加工B型零件；設(shè)加工A型零件的工人人數(shù)為x名（x∈N⁺），完成A型零件加工所需時(shí)間為f（x），完成B型零件加工所需時(shí)間為g（x）．
（1）求f（x）和g（x）的解析式并注明定義域；
（2）設(shè)h（x）是完成全部150套生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間，列出h（x）的解析式；并求完成全部150套生產(chǎn)任務(wù)的最短時(shí)間及相應(yīng)的x值．

Answer 1

（1）生產(chǎn)150套產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間f(x)=

450

5x

=

90

x

（x∈N^*，1≤x≤49）；生產(chǎn)150套產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

（x∈N^*，1≤x≤49）；
（2）設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為h（x）小時(shí)，則h（x）為f（x）與g（x）的較大者．令f（x）≥g（x），則

90

x

≥

50

50-x

，解得1≤x≤32

1

7

，所以當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f（x）＞g（x），當(dāng)33≤x≤49時(shí)，f（x）＜g（x），
∴h(x)=

90 x ，1≤x≤32 50 50-x ，32≤x≤49

，其中x∈N^*．
當(dāng)1≤x≤32時(shí)，h（x）在[1，32]上單調(diào)遞減，則h（x）在[1，32]上的最小值為h（32）=

45

16

（小時(shí)）；
當(dāng)33≤x≤49時(shí)，h（x）在[33，49]上單調(diào)遞增，則h（x）在[33，49]上的最小值為h（33）=

50

17

（小時(shí)），
∵h(yuǎn)（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值為h（32），所以x=32，故為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部任務(wù)，x應(yīng)取32．