Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD．E為SD的中點，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SB=SC=

3

．
（Ⅰ） 求證：SA⊥BC；
（Ⅱ） 在BC上求一點F，使EC∥平面SAF；
（Ⅲ） 求三棱錐D-EAC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面SAG，再利用線面垂直的性質即可證明BC⊥SA．
（Ⅱ）根據(jù)已知條件可猜測點F的位置，證明即可．利用直線與平面平行的判定定理可以證明當點F為BC中點時，EC∥平面SAF．
（Ⅲ）根據(jù)平面與平面垂直的性質定理得到SG⊥平面ABCD．從而得到點E到平面ABCD的距離．再利用等積法即可求出三棱錐D-EAC的體積．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=

2

．
在△ABC中，由余弦定理可得，AC=2．
∴AC=AB．取BC的中點G，連接SG，AG．
則AG⊥BC．
∵SB=SC
∴SG⊥BC
又∵AG∩SG=G．
∴BC⊥平面SAG．
∵SA?平面SAG，
∴BC⊥SA．
（Ⅱ）當F為BC中點時，EC∥平面SAF．
取SA的中點M，連接EM，MF．
∵E為SD中點，
∴EM∥DA且EM=

1

2

DA．
又∵CF∥DA且CF=

1

2

DA，
∴EM∥CF且EM=CF．
∴四邊形EMFC為平行四邊形．
∴EC∥MF．
∵MG?平面SAF，EC?平面SAF，
∴EC∥平面SAF．
（Ⅲ）∵平面SBC⊥平面ABCD，
SG?平面SBC，
平面SBC∩平面ABCD=BC，
SG⊥BC，
∴SG⊥平面ABCD．
在△SBC中，
BC=2

2

，SB=SC=

3

．
∴SG=1．
∵E為SD的中點，
∴點E到平面ABCD的距離為

1

2

．
∴VD-EAC=VE-DAC=

1

3

•

1

2

•2•2•

1

2

=

1

3

．

點評：本題考查直線與平面平行，垂直的判定定理，平面與平面垂直的性質定理．以及用等積法求三棱錐的體積等知識．屬于中檔題．