Question

在長度為10的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)將線段分為三段，
（1）求這三段可以構(gòu)成三角形的概率；
（2）若分成的三段長度恰好都為整數(shù)，求這三段能構(gòu)成三角形的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)分成的兩段分別為x、y，則第三段為10-x-y，得到所有情況下的不等式組和能構(gòu)成三角形的不等式組，在坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，分別計(jì)算它們的面積，用幾何概型計(jì)算公式即可得到三段能構(gòu)成三角形的概率．
（2）用列舉的方法，找出三段均為正整數(shù)的所有情況總數(shù)，再從中找出能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，用古典概型計(jì)算公式即可算出三段能構(gòu)成三角形的概率．
解答：解：（1）設(shè)分成的兩段分別為x、y，則第三段為10-x-y，則有，…（1）
如果能構(gòu)成三角形，則有，即（2）
在坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示
不等式（1）對應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鱋AB及其內(nèi)部，其中A（0，10），B（10，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)
不等式（2）對應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰿DE及其內(nèi)部，其中C（0，5），D（5，0），E（5，5）
∵S_△OAB=×10×10=50，S_△CDE=×5×5=，
∴分成的三段能構(gòu)成三角形的概率為P₁==
（2）將該線段分成三段均為正整數(shù)，只要確定其中兩邊長度即可得到三邊長度
∵其中兩段的情況共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，1），（2，2），…（8，1）共36種，
能構(gòu)成三角形的情況有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6種，
∴分成的三段長度恰好都為整數(shù)且這三段能構(gòu)成三角形的概率為P₂==
答：（1）分成的三段能構(gòu)成三角形的概率為；（2）分成的三段長度恰好都為整數(shù)且這三段能構(gòu)成三角形的概率為．
點(diǎn)評：本題給出長度為10的線段分成3段，求這三段能構(gòu)成三角形的概率，著重考查了幾何概型、古典概型等計(jì)算公式知識(shí)，屬于中檔題．