Question

已知函數(shù)f(x)=4co

s

2

x+4

3

sinxcosx．
（I）求f（x）取得最大值時x的集合；
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)f（x）解析式兩項分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后提取4，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)取得最大值時的角度列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到f（x）取得最大值時x的集合；
（Ⅱ）由x的范圍，求出第一問化簡得出的函數(shù)解析式中角度的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（I）f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx
=2（1+cos2x）+2

3

sin2x
=4（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+2
=4sin（2x+

π

6

）+2，
當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z時，取得最大值，
則函數(shù)f（x）取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

2

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2

3

+2≤4sin（2x+

π

6

）+2≤6，
則f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域為[2-2

3

，6]．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)定義域與值域，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關鍵．