Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一點P與橢圓上兩定點A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）的連線的斜率之積是-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則y²=b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），y₀²=b²（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$），代入斜率公式計算即可求出k_PA•k_PB．

解答 解：設(shè)P（x，y），則k_PA=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$，k_PB=$\frac{y+{y}_{0}}{x+{x}_{0}}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$•$\frac{y+{y}_{0}}{x+{x}_{0}}$=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$，
∵P，A為橢圓上的點，
∴y²=b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），y₀²=b²（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$），
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{^{2}（1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}）-^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}）}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案為：-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，斜率公式，屬于中檔題．