Question

已知圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于A、B兩點(diǎn)，
（1）求公共弦AB所在的直線方程；
（2）求圓心在直線y=-x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
（3）求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）直接把兩圓的方程作差消去二次項(xiàng)即可得到公共弦AB所在的直線方程；
（2）求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓心坐標(biāo)，由半徑相等求得圓心坐標(biāo)，則圓心在直線y=-x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程可求；
（3）求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)及AB的長度，則以AB為直徑的圓的方程可求．

解答：解：（1）由

x2+y2+2x+2y-8=0 x2+y2-2x+10y-24=0

⇒x-2y+4=0．
∴圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共弦AB所在的直線方程為x-2y+4=0；
（2）由（1）得x=2y-4，代入x²+y²+2x+2y-8=0中得，y²-2y=0，
∴

x=-4 y=0

或

x=0 y=2

，即A（-4，0），B（0，2），
又圓心在直線y=-x上，
設(shè)圓心為M（x，-x），則|MA|=|MB|，|MA|²=|MB|²，
即（x+4）²+（-x）²=x²+（-x-2）²，解得x=-3．
∴圓心M（-3，3），半徑|MA|=

10

．
∴圓心在直線y=-x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．
（3）由A（-4，0），B（0，2），
則AB中點(diǎn)為（-2，1），

1

2

|AB|=

1

2

(-4-0)2+(0-2)2

=

5

．
∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓位置關(guān)系的判定，考查了圓的方程的求法，訓(xùn)練了圓系方程的用法，是中檔題．