Question

已知曲線C：

（1）當(dāng)為何值時(shí)，曲線C表示圓；

（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線交于M、N兩點(diǎn)，且，求的值.

（3）在（1）的條件下，設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

(1) (2)(3)存在,

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)圓的一般式可知, ,可得范圍;

(2)將(1)中圓變形為標(biāo)準(zhǔn)方程,可知存在于半徑中,所以根據(jù)圓中 ,先求出圓心到直線的距離,即可求半徑得.

(3)假設(shè)存在,則有,設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo),可得.根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系是相交,所以聯(lián)立后首先根據(jù)初步判斷的范圍,而后利用根與系數(shù)的關(guān)系用表示出,將其帶入解之,如有解且在的范圍內(nèi),則存在,否則不存在.

 

（1）由，得.

（2），即，

所以圓心,半徑，

圓心到直線的距離.

又,在圓中

，即，．

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則，所以.

設(shè)，則有,即.

由得，

，即，又由（1）知，

故

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知:

,

故存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，

考點(diǎn)：圓的一般方程的判斷,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用, 的使用.