Question

已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）證明：f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合抽象表達(dá)式用

x

y

代替x，y不變，即可轉(zhuǎn)化即可獲得問題f(

x

y

)=f(x)-f(y)的解答；
（2）首先利用數(shù)值的搭配計(jì)算f（9）=2，進(jìn)而對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合變形后的抽象函數(shù)即可獲得變量a的要求，進(jìn)而問題即可獲得解答．

解答：解：（1）∵對一切x，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f(

x

y

)+f(y)=f(

x

y

×y)=f(x)
因此，滿足 f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（a）＞f（a-1）+2，?

a-1＞0 a＞0 f[(a-1)•9]＜f(a)

?

a＞1 (a-1)•9＜a

?1＜a＜

9

8

，
故a的取值范圍（1，

9

8

）

點(diǎn)評：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了定義域優(yōu)先的原則、特值的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及計(jì)算和解不等式組的能力．值得同學(xué)們體會和反思．