Question

16．設二次函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1（a∈R），求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值，g（a）的表達式．

Answer 1

分析 求出二次函數(shù)的對稱軸方程，討論對稱軸和區(qū)間[-1，1]的關系，運用函數(shù)的單調(diào)性即可得到最小值g（a）的表達式．

解答 解：f（x）=x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
（1）若-$\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2時，f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，∴g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
（2）若-1＜-$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2時，f（x）在[-1，1]上先減后增，∴g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
（3）若-$\frac{a}{2}$≤-1，即a＞2時，f（x）在[-1，1]上增函數(shù)，∴g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a＜2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查不等式的性質(zhì)和分類討論的思想方法，屬于中檔題．