Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）+f（-x）≥4；
（Ⅱ）證明：f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)可得|x-1|+|x+1|≥4，從而討論以去絕對(duì)值號(hào)，從而解得；
（Ⅱ）f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=|x-a|+|-$\frac{1}{x}-a$|=|x-a|+|$\frac{1}{x}$+a|≥|x+$\frac{1}{x}$|≥2．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，∵f（x）+f（-x）≥4，
∴|x-1|+|x+1|≥4，
當(dāng)x≤-1時(shí)，-2x≥4，故x≤-2，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，2≥4，不成立，
當(dāng)x≥1時(shí)，2x≥4，故x≥2；
綜上所述，不等式f（x）+f（-x）≥4的解集為
（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（Ⅱ）證明：∵f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）
=|x-a|+|-$\frac{1}{x}-a$|
=|x-a|+|$\frac{1}{x}$+a|
≥|x+$\frac{1}{x}$|≥2，
故f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式與絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用．