Question

15．（1）已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|$=$|{\overrightarrow b}|$=3，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（2）已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$與$7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$互相垂直，$\overrightarrow a-4\overrightarrow b$與$\overrightarrow{7a}-2\overrightarrow b$互相垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的計(jì)算即可，
（2）根據(jù)向量垂直的條件以及向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|$=$|{\overrightarrow b}|$=3，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$|{\overrightarrow a}|$•$|{\overrightarrow b}|$•cos120°=3×3×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{2}$，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$²=$|{\overrightarrow a}|$²+$|{\overrightarrow b}|$²+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=9+9+2×（-$\frac{9}{2}$）=9，$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$²=4$|{\overrightarrow a}|$²+$|{\overrightarrow b}|$²-4$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=36+9-4×（-$\frac{9}{2}$）=63，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=3，$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=3$\sqrt{7}$；
（2）設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$與$7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$互相垂直，$\overrightarrow a-4\overrightarrow b$與$\overrightarrow{7a}-2\overrightarrow b$互相垂直，
∴（$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$）•（$7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$）=0，（$\overrightarrow a-4\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow{7a}-2\overrightarrow b$）=0，
∴7|$\overrightarrow{a}$|²-15|$\overrightarrow$|²+16$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，7|$\overrightarrow{a}$|²+8|$\overrightarrow$|²-30$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴|$\overrightarrow$|²=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|²=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}$|=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$
又θ∈[0，π]
∴θ=$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系，屬中檔題．