（2013•牡丹江一模）《選修4-5：不等式選講》
設(shè)不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值時x的值．
分析：（Ⅰ）依題意，通過解絕對值不等式|x-2|＞1可求其解集，從而可知x2-ax+b=0的解，由韋達(dá)定理可求得a，b的值；
（Ⅱ）通過導(dǎo)數(shù)法可求得f（x）=4
x-3
+3
5-x
的最大值，以及取得最大值時x的值．
解答：解：（Ⅰ）∵|x-2|＞1，
∴x＞3或x＜1．
∴不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞3或x＜1}；
∵不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同，
∴1和3是方程x2-ax+b=0的根，
∴a=1+3=4，b=1×3=3．
（Ⅱ）∵f（x）=4
x-3
+3
5-x
（3≤x≤5），
∴f′（x）=
4×
1
2
x-3
-
3
2
5-x
=
2
5-x
-
3
2
x-3
x-3
•
5-x
，
由f′（x）=0得x=
107
25
．
由f′（x）＞0得，3≤x＜
107
25
，
由f′（x）＜0得，
107
25
＜x≤5．
∴f（x）在[3，
107
25
）上單調(diào)遞增，在（
107
25
，5]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=
107
25
時，f（x）取得最大值，
即f（x）max=f（
107
25
）=4
107
25
-3
+3
5-
107
25
=5
2
．
點評：本題考查絕對值不等式的解法，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值是難點，也是關(guān)鍵，考查分析、運算的能力，屬于難題．
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.
z
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1+1nx
x
．
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1
3
)(a＞0)上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）知果當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+
2
n+1
，這里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e為自然對數(shù)的底數(shù)．

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