Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)，x∈R，試討論f（x）的奇偶性，并求f（x）的最小值．

 

Answer 1

時(shí)，，時(shí)，， 時(shí)，．

【解析】

試題分析：因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，故在判斷奇偶性時(shí)，需對(duì)進(jìn)行分a=0，a≠0兩種情況討論，在求最值時(shí)，需對(duì)與的關(guān)系進(jìn)行分x≥a、x<a兩種情況討論，當(dāng)x≥a時(shí)，，然后討論與對(duì)稱軸的關(guān)系，當(dāng)x<a時(shí)，，然后討論與對(duì)稱軸的關(guān)系。

試題解析：【解析】
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2+|x|+1，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；

當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù)．

（1）當(dāng)x≥a時(shí)，，

[1]時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，且，

[2]時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

在 上的最小值為f（a）=a2+1．

（2）當(dāng)x<a時(shí)，，

[1]時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上的最小值為f（a）=a2+1

[2]時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，且，

綜上：時(shí)，，時(shí)，，

．

考點(diǎn)：（1）偶函數(shù)的定義；（2）分類討論思想；（3）二次函數(shù)的最值問(wèn)題。