Question

已知A（4，0）、B（2，2）是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1內(nèi)的點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|MA|+|MB|的最大值為

 

；最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由橢圓的定義可知，MA+MB=10+|MB|-|MF|．當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|．顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最小值，當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)|MA|+|MB|有最大值，由兩點(diǎn)間的距離公式能夠求出MA+MB的最值．

解答： 解：A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為F（-4，0），B在橢圓內(nèi)，
則由橢圓定義|MA|+|MF|=2a=10，
于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|．
當(dāng)M不在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，
于是|MB|-|MF|＜|BF|，
而當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，
在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有|MB|-|MF|=-|BF|，
在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|．
顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最小值，其最小值為
|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10-|BF|=10-

(2+4)2+(2-0)2

=10-2

10

；
當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最大值，其最大值為
|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+

(2+4)2+(2-0)2

=10+2

10

．
故答案為：10+2

10

，10-2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義及最值的求法，注意轉(zhuǎn)化思想，以及三點(diǎn)共線求最值的方法，解題時(shí)要熟練掌握定義法的運(yùn)用．