Question

如圖，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁與BC所成的角的大��；
（2）在棱B₁C₁上確定一點(diǎn)P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值為

3 10

10

．

Answer 1

分析：（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則 C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），可得

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0）．
利用向量的夾角公式即可得出；
（2）利用共線定理和兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的平面角．

解答：解：（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則 C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0）．
∴cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 | | BC |

=

-4

8 • 8

=-

1

2

，
故AA₁與棱BC所成的角是

π

3

．
（2）設(shè)

B1P

=λ

B1C1

=（2λ，-2λ，0），則P（2λ，4-2λ，2）．
設(shè)平面PAB的法向量為

n1

=（x，y，z），

AP

=(2λ，4-2λ，2)，
則

n1 • AP =λx+(2-λ)y+z=0 n1 • AB =2y=0

，
令x=1，則z=-λ，y=0．∴

n1

=(1，0，-λ)，
而平面ABA₁的法向量是

n2

=（1，0，0），
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

1

1+λ2

=

3 10

10

，解得λ=

1

3

，
即P為棱B₁C₁三等分點(diǎn)，其坐標(biāo)為P(

2

3

，

10

3

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的夾角公式即可得出異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．