Question

6．已知a=$\frac{2}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4x-{x}^{2}}$dx，實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，則z=x²+y²+ay的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{25}{4}$，8]
• B． [$\frac{31}{5}$，$\frac{212}{9}$]
• C． [8，$\frac{212}{9}$]
• D． [$\frac{31}{5}$，8]

Answer 1

分析 通過定積分求出a，根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．

解答 解：a=$\frac{2}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4x-{x}^{2}}$dx=$\frac{2}{π}×\frac{1}{4}×π×{2}^{2}$=2，
實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$的可行域如圖所示，由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），若目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²+2y的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)（0，-1）距離的平方減1．由圖形可知僅在點(diǎn)A（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），取得最大值，z=（$\frac{10}{3}$）²+（$\frac{8}{3}$）²+2×$\frac{8}{3}$=$\frac{212}{9}$．
由圖知，原點(diǎn)到直線x+2y-4=0的距離最小，d=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
可得z=x²+y²+2y=d²-1=$\frac{31}{5}$．
則z=x²+y²+2y取值范圍為[$\frac{31}{5}$，$\frac{212}{9}$]，
故選：B．

點(diǎn)評 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．判斷幾何意義，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．