Question

已知向量

m

=（

3

cos

x

2

，0），

n

=（sin

x

2

，cos²

x

2

），f（x）=

m

•（

m

+

n

）．
（Ⅰ） 求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式，和差公式化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出所求的單調(diào)區(qū)間；運(yùn)用正弦定理，誘導(dǎo)公式，即可求出角B，由銳角三角形，求出角A的范圍，再運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求的取值范圍．

解答： 解：向量

m

=（

3

cos

x

2

，0），

n

=（sin

x

2

，cos²

x

2

），
f（x）=

m

•（

m

+

n

）=

m

2+

m

•

n

=3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

=

3

2

（1+cosx）+

3

2

sinx=

3

2

+

3

sin（x+

π

3

）．
（Ⅰ）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
則增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，
則減區(qū)間為[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）
即有2cosB=1，B為銳角，則B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
由于A，C為銳角，所以

π

6

＜A＜

π

2

，

π

2

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
sin（A+

π

3

）∈（

1

2

，1），
則f（A）=

3

2

+

3

sin（A+

π

3

）的取值范圍是（

3+ 3

2

，

3+2 3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的平方即為模的平方，考查三角函數(shù)的恒等變換，及三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解三角形的有關(guān)知識(shí)，主要是正弦定理的運(yùn)用，是一道綜合題．