【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．

（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；
（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1﹣EC﹣D的大小為 ．

【答案】
（1）證明：分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則 ，

設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．

則 =（1．x，﹣1）， ，

∴D1E⊥A1D；


（2）解：當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0）， ，

設(shè)平面ACD1的法向量是 ，

求出 ， ，

由 ，得

∵ =（1，1，﹣1）

由點(diǎn)到平面的距離公式，得 ，

∴點(diǎn)E到面ACD1的距離是 ．


（3）解：設(shè)平面D1EC的法向量 =（a，b，c），

∴ =（1，x﹣2，0）， =（0，2，﹣1）， =（0，0，1）．

由 ．

令b=1，

∴c=2，a=2﹣x．∴ =（2﹣x，1，2）．

依題意：cos = = ，

即 = ，

平方得（x﹣2）2= ，

∴ （不合題意，舍去）， ．

∴ 時(shí)，二面角D1﹣EC﹣D的大小為 ．


【解析】（1）建立如圖的坐標(biāo)系，則 ，設(shè)E（1，t，0），則 ，通過向量的數(shù)量積為0，計(jì)算可得D1E⊥A1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0）， ，求出平面ACD1的一個(gè)法向量，最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD1的距離．（3）求出平面的法向量，利用二面角的夾角關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2（x﹣a）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成題目：
（1）若a、b、m、n∈R+ ， 求證： ；
（2）利用（1）的結(jié)論，求下列問題：已知 ，求 的最小值，并求出此時(shí)x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】滿足不等式|x﹣A|＜B（B＞0，A∈R）的實(shí)數(shù)x的集合叫做A的B鄰域，若a+b﹣2的a+b鄰域是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，則 的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】仙游某家具城生產(chǎn)某種家具每件成本為3萬元，每件售價(jià)為x萬元（x＞3），月銷量為t件，經(jīng)驗(yàn)表明，t= +10（x﹣6）2 ， 其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5萬元時(shí)，月銷量為11件．
（1）求a的值；
（2）求售價(jià)定為多少時(shí)，該家具的月利潤最大，最大值為多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列判斷中正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù)
D. 是奇函數(shù)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；
（1）當(dāng)k=4時(shí)，求上述不等式的解集；
（2）當(dāng)上述不等式的解集為（﹣5，4）時(shí)，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)正有理數(shù)a1是 的一個(gè)近似值，令a2=1+ ，求證：
（1） 介于a1與a2之間；
（2）a2比a1更接近于 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】不等式的解集是
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案