Question

如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，對角線AC與BD交于點O，OA=3，OD=1，CD=

2

，SO⊥底面ABCD．
（1）求證：SA⊥BD；
（2）若四棱錐S-ABCD的體積V=8，求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出OC⊥OD，AC⊥BD，從而BD⊥SO，進而BD⊥平面SOA，由此能證明SA⊥BD．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

解答： （1）證明：∵OD=1，底面ABCD這等腰梯形，
∴OC=1，又CD=

2

，∴OC⊥OD，
∴AC⊥BD，又SO⊥底面ABCD，∴BD⊥SO，
∵AC∩SO=0，
∴BD⊥平面SOA，
∴SA⊥BD．
（2）∵底面ABCD為等腰梯形，且AC⊥BD，
∴梯形ABCD的面積S=

1

2

AC•BD=8，
∴四棱錐S-ABCD的體積V=8=

1

3

S•SO，解得SO=3．
建立空間直角坐標系，如圖所示，
則O（0，0，0），A（3，0，0），
B（0，3，0），C（-1，0，0），S（0，0，3），
∴

SA

=（3，0，-3），

SB

=（0，3，-3），

SC

=（-1，0，-3），
令平面SAB的法向量

n1

=（x，y，z），
則

n1 • SA =3x-3=0 n1 • SB =3y-3=0

，
取x=1，得

n1

=（1，1，1），
設(shè)平面SBC的法向量

n2

=（x₁，y₁，z₁），
則

n2 • SB =3y2-3=0 n2 • SC =-x2-3=0

，
解得

n2

=（-3，1，1），
設(shè)二面角A-SB-C的平面角為θ，
則|cosθ|=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-3+1+1

3 • 11

|=

33

33

，
∴sinθ=

1-( 33 33 )2

=

4 66

33

．

點評：本題考查異面直線的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．