Question

2．已知直線y=k（x-1）+1與圓C：x²-4x+y²+1=0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2．

Answer 1

分析 求出圓C的圓心C（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$，從而求出圓心C（2，0）到直線y=k（x-1）+1的距離d=$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，進(jìn)而得到|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-bzdbr3p^{2}}$，再利用基本等式能求出|AB|的最小值．

解答 解：圓C：x²-4x+y²+1=0的圓心C（2，0），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16-4}$=$\sqrt{3}$，
圓心C（2，0）到直線y=k（x-1）+1的距離d=$\frac{|2k-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-7w5bgx8^{2}}$=2$\sqrt{3-\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$2\sqrt{3-\frac{{k}^{2}+1+2k}{{k}^{2}+1}}$=$2\sqrt{2-\frac{2k}{{k}^{2}+1}}$≥2．
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號，
∴|AB|的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查直線被圓截得的弦長的最小值求法及應(yīng)用，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．