Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，沿對(duì)角線AC折成直二面角，則折后異面直線AB與CD所成的角為（　　）

• A、arccos

  1

  5

• B、arcsin

  1

  5

• C、arccos

  2

  5

• D、arccos

  4

  5

Answer 1

分析：畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)B原來(lái)的位置為B₀，則∠B₀AB就是異面直線AB與CD所成的角，解三角形B0AB可求出所成角的余弦．設(shè)直角三角形ABC斜邊AC邊上的高為BE，不難得出B₀E是直角三角形AB₀C斜邊AC邊上的高，根據(jù)直二面角，可在等腰直角三角形BB₀E中求出BB₀的長(zhǎng)，從而在三角形ABB₀中用余弦定理求出的余弦．

解答：解：如圖，設(shè)點(diǎn)B原來(lái)的位置為B₀
過(guò)B作BE⊥AC，B₀E，則不難得出B₀E⊥AC
矩形AB₀CD中，AB₀∥CD
∴∠B₀AB就是異面直線AB與CD所成角，
由題意，直角三角形ABC中，可得BE=

AB×BC

AC

=

2 5

5

，
同理B₀E=

AB×BC

AC

=

2 5

5

，
∵二面角B-AC-D為直二面角，∠B₀EB是二面角B-AC-D的平面角
∴∠B₀EB=90°
∴B0B=

BE2+B0E 2

=

2 10

5

在三角形ABB₀中，由余弦定理
cos∠B0AB=

A B 2 0 +AB2-BB   2 0

2AB 0×AB

=

1

5

折后異面直線AB與CD所成的角為arccos

1

5

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線及其所成的角，二面角及其度量，考查作圖能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．