Question

15．為研究“在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率的和”這個課題，我們可以分三步進行研究：（I）取特殊事件進行研究；（Ⅱ）觀察分析上述結果得到研究結論；（Ⅲ）試證明你得到的結論．現(xiàn)在，請你完成：
（1）拋擲硬幣4次，設P₀，P₁，P₂，P₃，P₄分別表示正面向上次數為0次，1次，2次，3次，4次的概率，求P₀，P₁，P₂，P₃，P₄（用分數表示），并求P₀+P₁+P₂+P₃+P₄；（2）拋擲一顆骰子三次，設P₀，P₁，P₂，P₃分別表示向上一面點數是3恰好出現(xiàn)0次，1次，2次，3次的概率，求P₀，P₁，P₂，P₃（用分數表示），并求P₀+P₁+P₂+P₃；
（3）由（1）、（2）寫出結論，并對得到的結論給予解釋或給予證明．

Answer 1

分析 （1）用A_i（i=1，2，3，4）表示第i次拋擲硬幣擲得正面向上的事件，則A_i發(fā)生的次數X，服從二項分布，即X∽$B（{4，\frac{1}{2}}）$，分別求得P₀、P₁、P₂、P₃、
P₄ 的值，可得P₀+P₁+P₂+P₃+P₄的值．
（2）用A_i（i=1，2，3）表示第i次拋擲骰子擲得向上一面點數是3的事件，則A_i發(fā)生的次數X服從二項分布，即X∽$B（{3，\frac{1}{6}}）$，分別求得P₀、P₁、P₂、P₃、的值，可得P₀+P₁+P₂+P₃ 的值．
（3）在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和為1．
證明：在n次獨立重復試驗中，事件A每一次發(fā)生的概率為p，則X∽B（n，p），∴${P_i}=C_n^i{p^i}{（{1-p}）^{n-i}}$，計算 $\sum_{i=0}^{n}{p}_{i}$=1．
或：根據A₁∪A₂∪…∪A_i∪…∪A_n是必然事件，故在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和為1．

解答 解：（1）用A_i（i=1，2，3，4）表示第i次拋擲硬幣擲得正面向上的事件，則A_i發(fā)生的次數X，
服從二項分布，即X∽$B（{4，\frac{1}{2}}）$，∴${P_i}=C_4^i{（{\frac{1}{2}}）^i}{（{\frac{1}{2}}）^{4-i}}=C_4^i{（{\frac{1}{2}}）^4}（i=0，1，2，3，4）$，
所以${P_0}=\frac{1}{16}，{P_1}=\frac{1}{4}，{P_2}=\frac{3}{8}，{P_3}=\frac{1}{4}，{P_4}=\frac{1}{16}$，P₀+P₁+P₂+P₃+P₄=1．
（2）用A_i（i=1，2，3）表示第i次拋擲骰子擲得向上一面點數是3的事件，則A_i發(fā)生的次數X服從二項分布，即X∽$B（{3，\frac{1}{6}}）$，
∴${P_i}=C_3^i{（{\frac{1}{6}}）^i}{（{\frac{5}{6}}）^{3-i}}（i=0，1，2，3）$，
所以${P_0}=\frac{125}{216}，{P_1}=\frac{25}{72}，{P_2}=\frac{5}{72}，{P_3}=\frac{1}{216}$，∴P₀+P₁+P₂+P₃=1．
（3）在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和為1．
證明：在n次獨立重復試驗中，事件A每一次發(fā)生的概率為p，
則X∽B（n，p），∴${P_i}=C_n^i{p^i}{（{1-p}）^{n-i}}$，∴$\sum_{i=0}^n{P_i}=\sum_{i=0}^n{C_n^i}{p^i}{（{1-p}）^{n-i}}={[{（{1-p}）+p}]^n}=1$．
或這樣解釋：A₁∪A₂∪…∪A_i∪…∪A_n是必然事件，
所以，在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和為1．

點評 本題考查相互獨立事件的概率乘法公式及n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式，解答本題關鍵是判斷出所研究的事件是那一種概率模型，屬于中檔題．