Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=1，c=

2

，cosC=

3

4

．
（Ⅰ）求sin（A+B）的值；
（Ⅱ）求sinA的值；
（Ⅲ）求

CB

•

CA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式得到要求的式子sin（A+B）=sinC，可根據(jù)cosC的值和范圍利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值即可得到sin（A+B）的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出的sinC和已知條件a=1，c=

2

利用正弦定理即可求出sinA；
（Ⅲ）根據(jù)向量的數(shù)量積的法則

CB

•

CA

=|

CB

|×|

CA

|×cosC即要求b的值，利用余弦定理和已知的cosC，a和c的值即可求出c，代入即可求出向量的數(shù)量積．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，A+B=π-C，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC．
又∵cosC=

3

4

，∴0＜C＜

π

2

，
∴sinC=

1-cos2C

=

7

4

．
∴sin(A+B)=

7

4

．
（Ⅱ）由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinA=

asinC

c

=

1× 7 4

2

=

14

8

．
（Ⅲ）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
∴(

2

)2=12+b2-2×1×b×

3

4

，即2b²-3b-2=0．
解得b=2或b=-

1

2

（舍）．
∴

CB

•

CA

=|

CB

|×|

CA

|×cosC=1×2×

3

4

=

3

2

．

點評：此題是一道中檔題，要求學(xué)生靈活運用正弦、余弦定理解決實際問題，會利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，掌握向量的數(shù)量積的法則．