Question

已知函數(shù)=x³+bx²+cx+1在區(qū)間（-∞，-2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間［-2，2］上單調(diào)遞減，且b≥0.

（1）求的表達(dá)式；

（2）設(shè)0＜m≤2，若對(duì)任意的x′,x″∈［m-2，m］，不等式||≤16m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.

Answer 1

解：（1）=x³+bx²+cx+1，=3x²+2bx+c.

∵在區(qū)間（-∞，-2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間［-2，2］上單調(diào)遞減，

∴方程=3x²+2bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂，且x₁=-2，x₂≥2，

∵x₁+x₂=，x₁x₂=，

∴x₂=+2，∴+2≥2，∴b≤0，

∵已知b≥0，∴b=0，∴x₂=2，c=-12，∴=x³-12x+1.

（2）對(duì)任意的x′,x″∈[m-2,m],不等式||≤16m恒成立，等價(jià)于在區(qū)間［m-2，m］上，［］_max-［］_min≤16m.

=x³-12x+1，=3x²-12.

由=3x²-12＜0，解得-2＜x＜2.

∴的減區(qū)間為[-2，2]

∵0＜m≤2，∴[m-2，m][-2，2].∴在區(qū)間[m-2，m]上單調(diào)遞減，

在區(qū)間[m-2，m]上，[]_max==（m-2）³-12（m-2）+1，

[]_min==m³-12m+1，

[]_max-[]_min

=[（m-2）³-12（m-2）+1]-（m³-12m+1）=-6m²+12m+16，

∵[]_max-[]_min≤16m，

∴-6m²+12m+16≤16m，3m²+2m-8≥0，

解得m≤-2，或m≥.

∵0＜m≤2，∴m_min=.

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性知識(shí)方面的運(yùn)用，需要學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)及分析能力、運(yùn)算能力.