Question

18．已知點（$\frac{π}{4}$，1）在函數(shù)f（x）=2asinxcosx+cos2x的圖象上．
（Ⅰ） 求a的值和f（x）最小正周期；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象過點（$\frac{π}{4}$，1），可得a的值．利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；根據(jù)k的取值，即可得x在（0，π）的減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2asinxcosx+cos2x．
化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．
∵圖象過點（$\frac{π}{4}$，1），
即1=asin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$
可得：a=1．
∴f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z．
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}+kπ$]，k∈Z．
∵x∈（0，π）．
當k=0時，可得單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．
函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．