Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}，已知${a_1}=4，{b_1}=3，{c_1}=5，{a_{n+1}}={a_n}，{b_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}$，${c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求b₂，c₂，b₃，c₃；
（2）求數(shù)列{c_n-b_n}的通項公式；
（3）求證：對任意n∈N^*，b_n+c_n為定值．

Answer 1

分析 （1）直接由已知可得b₂，c₂，b₃，c₃的值；
（2）由a_n+1=a_n，a₁=4，得${a_n}=4（{n∈{N^*}}）$，然后分別求出b_n+1，c_n+1，可得${c_{n+1}}-{b_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}-{c_n}}）=-\frac{1}{2}（{{c_n}-{b_n}}）$，即數(shù)列{c_n-b_n}是首項為2，公比為$-\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可得數(shù)列{c_n-b_n}的通項公式；
（3）由（2）知，${b_{n+1}}+{c_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}}）+4$，即${b_{n+1}}+{c_{n+1}}-8=\frac{{{b_n}+{c_n}}}{2}-4=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}-8}）$，結(jié)合b₁+c₁-8=0，可得b_n+c_n-8=0恒成立，即b_n+c_n為定值8．

解答 （1）解：由已知可得${b_2}=\frac{9}{2}，{c_2}=\frac{7}{2}，{b_3}=\frac{15}{4}，{c_3}=\frac{17}{4}$；
（2）解：∵a_n+1=a_n，a₁=4，∴${a_n}=4（{n∈{N^*}}）$，
∴${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}=\frac{{4+{c_n}}}{2}=\frac{c_n}{2}+2，{c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}=\frac{b_n}{2}+2$，
則${c_{n+1}}-{b_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}-{c_n}}）=-\frac{1}{2}（{{c_n}-{b_n}}）$，
即數(shù)列{c_n-b_n}是首項為2，公比為$-\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴${c_n}-{b_n}=2•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（3）證明：由（2）知，${b_{n+1}}+{c_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}}）+4$，
∴${b_{n+1}}+{c_{n+1}}-8=\frac{{{b_n}+{c_n}}}{2}-4=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}-8}）$，
而b₁+c₁-8=0，
∴由上述遞推關(guān)系可得，當(dāng)n∈N^*時，b_n+c_n-8=0恒成立，
即b_n+c_n為定值8．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．