【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , , .

(I)求異面直線所成角的余弦值;

(II)求證: 平面

(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)見解析;(Ⅲ).

【解析】試題分析:本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.求兩條異面直線所成的角,首先要借助平行線找出異面直線所成的角,然后借助解三角形求出角,證明線面垂直只需尋求線線垂直,求線面角首先利用轉(zhuǎn)化思想尋求直線與平面所成的角,本題作 是一步重要的轉(zhuǎn)化,尋求斜線、垂線,斜足、垂足、斜線在平面內(nèi)的射影,找到線面角后利用三角形邊角關(guān)系求出線面角.求線面角也可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離“盲求”.

考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

試題解析:(Ⅰ)如圖,由已知AD//BC,學(xué)|科網(wǎng)故或其補(bǔ)角即為異面直線APBC所成的角.因為AD⊥平面PDC,所以ADPD.在Rt△PDA中,由已知,得,故.

所以,異面直線APBC所成角的余弦值為.

(Ⅱ)證明:因為AD⊥平面PDC,直線PD平面PDC,所以ADPD.又因為BC//AD,所以PDBC,又PDPB,所以PD⊥平面PBC.

(Ⅲ)解:過點(diǎn)DAB的平行線交BC于點(diǎn)F,連結(jié)PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因為PD⊥平面PBC,故PFDF在平面PBC上的射影,所以為直線DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BCBF=2.又ADDC,故BCDC,在Rt△DCF中,可得,在Rt△DPF中,可得.

所以,直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】汽車租賃公司為了調(diào)查A,B兩種車型的出租情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車,分別統(tǒng)計了每輛車某個星期內(nèi)的出租天數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: A型車

出租天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

車輛數(shù)

5

10

30

35

15

3

2

B型車

出租天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

車輛數(shù)

14

20

20

16

15

10

5

( I)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A,B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛,估計這輛汽車恰好是A型車的概率;
(Ⅱ)根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù),估計該公司一輛A型車,一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率;
(Ⅲ)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同,該公司需要從A,B兩種車型中購買一輛,請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識,給出建議應(yīng)該購買哪一種車型,并說明你的理由.

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【題目】已知A (1,2),B(a,1),C(2,3),D(﹣1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個點(diǎn),且向量 , 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1 , z2 . (Ⅰ)若z1+z2=1+i,求z1 , z2
(Ⅱ)若|z1+z2|=2,z1﹣z2為實數(shù),求a,b的值.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax)(a∈R)在區(qū)間(0,2)上有兩個極值點(diǎn),則a的取值范圍是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PAABPABC,ABBC,PAABBC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).

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(2)求證:平面BDE平面PAC;

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(2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊為a,b,c,且角C為銳角,SABC= ,c=2,f(C+ )= .求a,b的值.

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(2)求證:若a=e(e是自然常數(shù)),當(dāng)x∈[1,e]時,f(x)≥e﹣g(x)恒成立;
(3)若h(x)=x2[1+g(x)],當(dāng)a>1時,對于x1∈[1,e],x0∈[1,e],使f(x1)=h(x0),求a的取值范圍.

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