已知函數(shù)f(x),若對給定的△ABC,它的三邊的長a,b,c均在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),都有f(a),f(b),f(c)也為某三角形的三邊的長,則稱f(x)是△ABC的“三角形函數(shù)”,下面給出四個命題:
①函數(shù)f1(x)=x是任意三角形的“三角形函數(shù)”.
②函數(shù)f2(x)=
x
(x∈(0,+∞))是任意蘭角形“三角形函數(shù)”;
③若定義在 (0,+∞)上的周期函數(shù) f3(x)的值域也是勤f3(x),則f3(x)是任意三角形的“三角形函數(shù)”;
④若函數(shù)f4(x)=x3-3x+m在區(qū)間或(
2
3
,
4
3
)上是某三角形的“三角形函數(shù)”,則m的取值范是(
62
27
,+∞).
以上命題正確的有
 
(寫出所有正確命題的序號)
考點:進行簡單的合情推理
專題:推理和證明
分析:判斷函數(shù)f(x)是不是“三角形函數(shù)”,只須對任意的三角形,設(shè)它的三邊長分別為a,b,c,則a+b>c,不妨假設(shè)a≤c,b≤c,判斷f(a),f(b),f(c)是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù),即任意兩邊之和大于第三邊即可.
①顯然符合條件,
②f2(x)=
x
中,設(shè)△的三邊長分別為a,b,c,且a+b>c,有f(a)+f(b)=
a
+
b
a+b
c
=f(c);
③f3(x)中,舉反例說明命題不成立;
④f4(x)中,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在x∈(
2
3
,
4
3
)上的增減性并比較大小,從而確定m的取值范圍;
解答: 解:①對于f1(x)=x,顯然符合條件;
②對于f2(x)=
x
,x∈(0,+∞),設(shè)△的三邊長分別為a,b,c,且a+b>c,
不妨設(shè)a≤c,b≤c,則f(a)+f(b)=
a
+
b
a+b
c
=f(c),符合條件;
③對于定義在(O,+∞)上的周期函數(shù)f3(x),值域是(0,+∞),設(shè)T(T>0)是f3(x)的一個周期,則存在n>m>0,有f3(m)=1,f3(n)=2,
取正整數(shù)λ>
n-m
T
,則λT+m,λT+m,n,是三角形的三邊,又f2(λT+m)=1,f2(λT+m)=1,f2(n)=2不能組成三角形,∴不符合條件;
④對于函數(shù)f4(x)=x3-3x+m,∵f4′(x)=3x2-3,∴f4(x)在(-1,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),又x∈(
2
3
,
4
3
),
∴f4(1)<f4
2
3
)<f4
4
3
);要使f4(x)是某三角形的“三角形函數(shù)”,須f4
4
3
)=(
4
3
3-3×
4
3
+m>0,∴m>
44
27
,∴不符合條件;
故答案為:①②
點評:本題通過命題真假的判定,考查了新定義下的函數(shù)模型的應(yīng)用問題,是比較容易出錯的題目.
練習(xí)冊系列答案
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如果函數(shù)f(x)=mx2+(2m-1)x+(m-3)
(1)函數(shù)在R上有兩個不同的零點,求m的取值范圍;
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;又6=2×3,所以6的所有正約數(shù)之和可表示為(1+2)•(1+3);28=22×7,所以28的所有正約數(shù)之和可表示為(1+2+22)•(1+7);按此規(guī)律,請寫出所給的四位數(shù)的所有正約數(shù)之和可表示為
 
.(請參照6與28的形式給出)

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7
x+
2
(9-x2)最大值等于
 

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如圖,正六邊形ABCDEF中,
BA
+
CD
+
EF
=( 。
A、
 0 
B、
BE
C、
AD
D、
CF

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