Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，設(shè)M、N分別為棱A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，E、F分別為棱B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)，求證：

(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；

(2)面AMN∥面EFDB．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵E、F分別為棱B1C1、C1D1的中點(diǎn)， 　　∴EF∥D1B1． 　　∵DB∥D1B1， 　　∴EF∥DB． 　　∴E、F、B、D四點(diǎn)共面． 　　(2)∵M(jìn)、N分別為棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)， 　　∴MN∥D1B1． 　　∵EF∥D1B1，∴MN∥EF． 　　∴MN∥面DBEF． 　　∵N、E分別為棱A1D1、B1C1的中點(diǎn)， 　　∴NE∥AB． 　　∵NE＝AB，∴NEBA是平行四邊形． 　　∴AN∥BE．∴AN∥面DBEF． 　　∵M(jìn)N和AN是面AMN中的兩條相交線， 　　∴面AMN∥面EFDB． 　　解析：(1)證明E、F、B、D四點(diǎn)共面只要證EF∥DB．(2)欲證面面平行，需證線面平行；欲證線面平行，只需線線平行．將證明面AMN∥面EFDB的問題轉(zhuǎn)化為證明面AMN相交的兩條直線AN、MN分別平行于面EFDB內(nèi)的兩條相交直線BE、EF的問題．