【題目】已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,記.
(1)求函數(shù)的解析式和定義域﹔
(2)在的圖像上是否存在這樣兩個不同點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直?若存在,求A,B的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】已知拋物線的焦點F,C上一點到焦點的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過F作直線l,交C于A,B兩點,若直線AB中點的縱坐標(biāo)為,求直線l的方程.
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【題目】如圖,半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1 , l2之間,l∥l1 , l與半圓相交于F,G兩點,與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點.設(shè)弧 的長為x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l從l1平行移動到l2 , 則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知動點到定點和的距離之和為.
(1)求動點軌跡的方程;
(2)設(shè),過點作直線,交橢圓于不同于的兩點,直線, 的斜率分別為, ,求的值.
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【題目】已知點列An(an , bn)(n∈N*)均為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象上,點列Bn(n,0)滿足|AnBn|=|AnBn+1|,若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊,則a的取值范圍為( )
A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1, )
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1, )
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【題目】已知函數(shù) ,其中a∈R.
(1)根據(jù)a的不同取值,討論f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知a>0,函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f﹣1(x),若函數(shù)y=f(x)+f﹣1(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為1+log23,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N+,求f(n)的表達式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)通過令x=n,y=1,說明{f(n)}是以f(1)=為首項,公比為的等比數(shù)列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表達式,利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和,即可說明不等式成立.
(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]
=f(n-1)·f(1)=f(n-1).
∴當(dāng)n≥2時,=.
又f(1)=,
∴數(shù)列{f(n)}是首項為,公比為的等比數(shù)列,
∴f(n)=f(1)·()n-1=()n.
(2)證明:由(1)可知,
an=n·()n=n·,
設(shè)Sn=a1+a2+…+an,
則Sn=+2×+3×+…+(n-1)·+n·,①
∴Sn=+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·.②
①-②得,
Sn=+++…+-n·
=-=1--,
∴Sn=2--<2.
即a1+a2+…+an<2.
【點睛】
本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,數(shù)列通項公式的求法和的求法,考查不等式的證明,裂項法與錯位相減法的應(yīng)用,數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a (a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,點在直線上;數(shù)列是等差數(shù)列,且,它的前9項和為153.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求證:數(shù)列的前項和.
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