Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；
（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線3x+4y-6=0交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=3

3

，求m的值；
（3）在（1）的條件下，設(shè)直線x-y-1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,二元二次方程表示圓的條件

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m的范圍；
（2）求出圓心C（1，2）到直線3x+4y-6=0的距離，利用|MN|=3

3

，求m的值；
（3）把存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求解實(shí)數(shù)k的值．

解答： 解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5．…（3分）
（2）x²+y²-2x-4y+m=0，即（x-1）²+（y-2）²=5-m，
所以圓心C（1，2），半徑r=

5-m

，…（4分）
∵圓心C（1，2）到直線3x+4y-6=0的距離d=

|3+8-6|

32+42

=1…（5分）
又|MN|=2

3

，∴r2=12+(

3

)2=4，即5-m=4，∴m=1．…（6分）
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，則OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，…（7分）
由

x2+y2-2x-4y+m=0 x-y-1=0

得2x²-8x+5+m=0，…（8分）∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3…（9分）x1+x2=4，x1x2=

m+5

2

…（10分）∴y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=

m+5

2

-3=

m-1

2

…（11分）
∴x1x2+y1y2=

m+5

2

+

m-1

2

=m+2=0∴m=-2＜3…（12分）
故存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，m=-2．  …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程表示圓時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．