Question

11．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象如圖所示，若f（α）=3，α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），則sinα的值為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$
• C． $\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的最值得到A，再由圖象可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式得到ω的值，再根據(jù)函數(shù)的最大值對應(yīng)的x值，代入并解之得φ，從而得到函數(shù)的表達式，最后求得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可得解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的最大值為5，最小值為-5，
∴A=5，
又∵函數(shù)的周期T=2（$\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}$）=2π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{2π}$=1，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過點（$\frac{π}{3}$，5），即：5sin（$\frac{π}{3}$+φ）=5，
∴解得：$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，可得：φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴取k=0，得φ=$\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)的表達式為：f（x）=5sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵f（α）=5sin（α+$\frac{π}{6}$）=3，解得：sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
又∵α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），可得：α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．
故選：A．

點評 本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并根據(jù)解析式求特殊的函數(shù)值，著重考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的知識，屬于中檔題．