Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x-2）²+y²=1，點(diǎn)P在直線l：x+y+1=0上，若過(guò)點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB中點(diǎn)，則點(diǎn)P的恒坐標(biāo)的取值范圍是[-1，2]．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（x₀，-x₀-1），B（2+cosθ，sinθ），求出A的坐標(biāo)，代入圓C：（x-2）²+y²=1，利用輔助角公式，即可確定點(diǎn)P橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，-x₀-1），B（2+cosθ，sinθ），則
由條件得A點(diǎn)坐標(biāo)為x=$\frac{1}{2}$（x₀+2+cosθ），y=$\frac{1}{2}$（sinθ-x₀-1），
從而[$\frac{1}{2}$（x₀+2+cosθ）-2]²+[$\frac{1}{2}$（sinθ-x₀-1）]²=1，
整理得（x₀-2）cosθ-（x₀+1）sinθ+x₀²-x₀+1=0，
從而$\sqrt{2{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+5}$sin（θ+α）=-x₀²+x₀-1，
于是由$\sqrt{2{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+5}$≥|-x₀²+x₀-1|，解得-1≤x₀≤2．
故答案為：[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．