Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，H為線段PC上一點．
（1）證明：平面BHD⊥平面PAC；
（2）若OH⊥PC，PC與底面ABCD所成的角為45°，求三棱錐H-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BD，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面BHD⊥平面PAC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐H-BCD的體積．

解答 證明：（1）∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，
∴AC⊥BD，PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BHD，∴平面BHD⊥平面PAC．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PC與底面ABCD所成的角為45°，
∴PA=AC=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴O（1，1，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），
C（2，2，0），
設(shè)H（a，b，c），$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$，0≤γ≤1，
則（a，b，c-2$\sqrt{2}$）=（2λ，2λ，-2$\sqrt{2}λ$），
∴a=2λ，b=2λ，c=2$\sqrt{2}-2\sqrt{2}λ$，∴H（2$λ，2λ，2\sqrt{2}-2\sqrt{2}λ$），
$\overrightarrow{OH}$=（2λ-1，2λ-1，2$\sqrt{2}-2\sqrt{2}λ$），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），
∵OH⊥PC，
∴$\overrightarrow{OH}•\overrightarrow{PC}$=2（2λ-1）+2（2λ-1）-2$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}-2\sqrt{2}λ$）=0，
解得$λ=\frac{3}{4}$，∴H到平面BCD的距離d=2$\sqrt{2}-2\sqrt{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$，
∴三棱錐H-BCD的體積V=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{4}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．