Question

16．一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等，設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h₁，h₂，h₃，則h₁：h₂：h₃=$\sqrt{3}$：2：2．

Answer 1

分析 根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知四棱錐和三棱錐的棱長都相等，且三棱錐的高與三棱柱的高相同，設(shè)棱錐的棱長為a，利用勾股定理計算出四棱錐與三棱錐的高即可得出高的比值．

解答 解：設(shè)四棱錐為A-BCFE，三棱錐為A-DEF，
則三棱錐A-DEF為正四面體，四棱錐A-BCFE為正四棱錐，
顯然h₂=h₃．
設(shè)AB=a，正方形BCFE的中心為M，正三角形DEF的中心為N，
連接AM，AN，CM，DN．
則CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，DN=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
∴AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
即h₁=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，h₂=h₃=AN=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴h₁：h₂：h₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$：$\frac{\sqrt{6}}{3}$：$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{3}$：2：2．
故答案為：$\sqrt{3}$：2：2．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，判斷棱錐的特點，作出棱錐的高是關(guān)鍵，屬于中檔題．