Question

1．已知△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（5，0），C（3，4）．
（1）求過點A且與直線BC垂直的直線方程．
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用斜率計算公式可得k_BC=-2，可得與直線BC垂直的直線斜率為$\frac{1}{2}$，利用點斜式即可得出．
（2）利用兩點之間的距離公式可得|BC|=2$\sqrt{5}$．直線BC的方程為：2x+y-10=0．求出點A到直線BC的距離d，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}d|BC|$即可得出．

解答 解：（1）k_BC=$\frac{0-4}{5-3}$=-2，∴與直線BC垂直的直線斜率為$\frac{1}{2}$．
∴過點A且與直線BC垂直的直線方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），化為：x-2y+3=0．
（2）|BC|=$\sqrt{（5-3）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
直線BC的方程為：y-0=-2（x-5），化為2x+y-10=0．
∴點A到直線BC的距離d=$\frac{|2+2-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}d|BC|$=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$2\sqrt{5}$=6．

點評 本題考查了直線的方程、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．