Question

19．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ x+y≤1\\ y≥-1.\end{array}\right.$
（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 （1）由題意作出可行域，從而利用線性規(guī)劃求最大值；
（2）由題意作圖象，從而可得當(dāng)d有最大值時(shí)，|z|有最大值，即z有最值；從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：（1）由題意作出可行域如下，
，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A（2，-1）時(shí)有最大值，
故Z_max=2×2-1=3；
（2）由題意作圖象如下，
，
根據(jù)距離公式，原點(diǎn)O到直線2x+y-z=0的距離d=$\frac{|z|}{\sqrt{5}}$，
故當(dāng)d有最大值時(shí)，|z|有最大值，即z有最值；
結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線2x+y-z=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1相切時(shí)最大，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=-2x+z}\end{array}\right.$化簡(jiǎn)可得，
116x²-100zx+25z²-400=0，
故△=10000z²-4×116×（25z²-400）=0，
故z²=116，
故z=2x+y的最大值為$\sqrt{116}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用及圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用．