已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+
1
x
+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）+
a
x
，且g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）欲求f（x）的解析式，設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），即尋找坐標x，y的關系式，這可從對稱性方面考慮即可；
（2）利用導數(shù)研究單調(diào)性，即g′（x）≤0在區(qū)間（0，2]上恒成立，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．
解答：解：（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），
點（x，y）關于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）圖象上．
∴2-y=-x+
1
-x
+2．
∴y=x+
1
x
，即f（x）=x+
1
x
．
（2）g（x）=x+
a+1
x
，
∵g′（x）=1-
a+1
x2
，g（x）在（0，2]上遞減，
∴1-
a+1
x2
≤0在x∈（0，2]時恒成立，
即a≥x2-1在x∈（0，2）時恒成立．
∵x∈（0，2]時，（x2-1）max=3，
∴a≥3．
點評：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，恒成立問題等基礎知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象有且僅有由五個點構(gòu)成，它們分別為（1，2），（2，3），（3，3），（4，2），（5，2），則f（f（f（5）））=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•天門模擬）已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（1，λ），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．數(shù)列{an}滿足a1=λ-2，2an+1=
2n，n為奇數(shù)
f(an)，n為偶數(shù)

（I）求f（n）（n∈N*）的表達式；
（II）設λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；
（III）若對任意n∈N*，總有anan+1＜an+1an+2，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，且當x＜0時，f（x）=2x-4，那么當x＞0時，f（x）=
2x+4
2x+4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•焦作一模）已知函數(shù)f（x）的圖象過點（
π
4
，-
1
2
），它的導函數(shù)f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，為了得到函
數(shù)f（x）的圖象，只要將函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=2對稱，且當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，則下列表示大小關系的式子正確的是（　�。�
A、f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a)C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a)D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3)

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