Question

已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為5，圓C被直線(xiàn)x-y+3=0截得的弦長(zhǎng)為2

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．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)ax-y+5=0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得A，B關(guān)于過(guò)點(diǎn)P（-2，4）的直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)⊙C的方程為（x-m）²+y²=25（m＞0），由弦長(zhǎng)公式求出m，即得圓C的方程．
（2） 由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A，B關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，則有

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

，解出實(shí)數(shù)a的值，得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)⊙C的方程為（x-m）²+y²=25（m＞0），由題意設(shè)

|m+3 2 = 25-17 m＞0

，
解得 m=1．故⊙C的方程為（x-1）²+y²=25．
（2）由題設(shè)知 

|a+5|

a2+1

＜5，故12a²-5a＞0，所以，a＜0，或a＞

5

12

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，0)∪(

5

12

，+∞)．
（3）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A，B關(guān)于l對(duì)稱(chēng)．∴PC⊥AB，又 a＜0，或a＞

5

12

，
即

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

，∴a=

3

4

，
∴存在實(shí)數(shù)a=

3

4

，滿(mǎn)足題設(shè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，由存在實(shí)數(shù)a，使得A，B關(guān)于l對(duì)稱(chēng)得到

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

 是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．