Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線為x=

3

2

6

，離心率為

6

3

，A（-a，0），B（0，b），光線通過點(diǎn)C（-1，0）射到線段AB上的點(diǎn)T（端點(diǎn)除外），經(jīng)過線段AB反射，其反射光線與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）求橢圓的方程；
（2）若TC=TM，求T點(diǎn)橫坐標(biāo)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用橢圓的準(zhǔn)線方程和離心率公式，及a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到橢圓方程；
（2）求出直線AB的方程，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為C’（x₀，y₀），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和垂直的結(jié)論，列出方程，求出C'，得到直線CM的方程，再由橢圓方程，求出交點(diǎn)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到m．

解答： 解：（1）根據(jù)題意：右準(zhǔn)線方程為：x=

a2

c

=

3 6

2

，
e=

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²
聯(lián)立解得：a=3，c=

6

，b=

3

∴橢圓方程為：

x2

9

+

y2

3

=1；
（2）A（-3，0），B（0，

3

）∴直線AB：y=

3

3

x+

3

，
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為C’（x₀，y₀），

y0

x0+1

=-

3

且

y0

2

=

3

3

×

x0-1

2

+

3

解得，x₀=-2，y₀=

3

，
∴C'（-2，

3

）
∵TC=TM∴TC'=TM，
∴T為C′M的中點(diǎn)．
CM的垂直平分線經(jīng)過T點(diǎn)，根據(jù)相似，其實(shí)CM∥AB，則直線CM：y=

3

3

x+

3

3

，
聯(lián)立橢圓方程x²+3y²=9，
解得，x=

-1+ 17

2

，y=

3 + 51

6

，或x=

-1- 17

2

，y=

3 - 51

6

．
∴m=

-2+ -1- 17 2

2

=-

5+ 17

4

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱的特點(diǎn)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．