Question

已知實數(shù)m，n都為正數(shù)，且

2

m

+

9

n

=1，求m+n+

m2+n2

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題目提煉出其幾何意義為求過點（2，9）的直線與兩坐標(biāo)軸正半軸相交所圍成的三角形的周長的最小值，然后利用三角代換列出三角形的周長，然后借助于導(dǎo)數(shù)求得最小值．

解答： 解：原題的幾何意義是求過點（2，9）的直線與兩坐標(biāo)軸正半軸相交所圍成的三角形的周長的最小值．
設(shè)三角形三個頂點坐標(biāo)分別為O（0，0），A（m，0），B（0，n），其中m＞0，n＞0，
如圖

設(shè)角OAB=α，α∈（0，

π

2

），則：
OA=m=2+

9

tanα

，
OB=n=9+2tanα，
AB=

9

sinα

+

2

cosα

，
周長l=OA+AB+BO=11+

9

tanα

+2tanα+

9

sinα

+

2

cosα

=11+

2tan3 α 2 -5tan2 α 2 +2tan α 2 +9

tan α 2 -tan3 α 2

．
令tan

α

2

=x，x∈（0，1），
則l=11+

2x3-5x2+2x+9

x-x3

=

9+13x-5x2-9x3

x-x3

=9+

-5x2+4x+9

x-x3

=9+

9-x

x(1-x)

．
令t=

9-x

x(1-x)

，則t′=

-x2+18x-9

x2(1-x)2

，由t′=0得x=9±6

2

．
當(dāng)x∈(0，9-6

2

)，(9+6

2

，+∞)時，t′＜0，當(dāng)x∈(9-6

2

，9+6

2

)，t′＞0．
∴當(dāng)x=9-6

2

時，l有最小值為26+12

2

．

點評：本題考查了直線與方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是難度較大的題目．