Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（1﹣x）（a∈R）．
（1）若f（x）在x=﹣1處有極值，求a的值；
（2）若f（x）在[﹣3，﹣2）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足，
若存在，求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²+2ln（1﹣x），
∴1﹣x＞0，即x＜1，，
∵f（x）在x=﹣1處有極值，
∴=0，
解得a=﹣．
（2）∵f（x）在[﹣3，﹣2）上是增函數(shù)，
∴≥0對(duì)一切x∈[﹣3，﹣2）恒成立，
∴a≤=，
當(dāng)x∈[﹣3，﹣2）時(shí)，﹣＜﹣6，
∴＞﹣．
故a≤﹣．
（3）假設(shè)存在正數(shù)a，使得成立，
=2a﹣[2a（1﹣x）+]≤，
由2a（1﹣x）=，得（1﹣x）²=，
∴x=1±，由于x=1+＞1，故應(yīng)舍去，
當(dāng)x=1﹣時(shí)，，
令2a﹣2=1﹣2，解得a=，或a=．